對于一個多元函數
，用最速下降法（又稱梯度下降法）求其極小值的迭代格式為
其中
為負梯度方向，即最速下降方向，αkαk為搜索步長。
一般情況下，最優步長αkαk的確定要用到線性搜索技術，比如精確線性搜索，但是更常用的是不精確線性搜索，主要是Goldstein不精確線性搜索和Wolfe法線性搜索。
為了調用的方便，編寫一個Python文件，里面存放線性搜索的子函數，命名為linesearch.py，這里先只編寫了Goldstein線性搜索的函數，關于Goldstein原則，可以參看最優化課本。
線性搜索的代碼如下（使用版本為Python3.3）：
'''
線性搜索子函數
'''
import numpy as np
import random
def goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):
flag=0
a=0
b=alpham
fk=f(x)
gk=df(x)
phi0=fk
dphi0=np.dot(gk,d)
alpha=b*random.uniform(0,1)
while(flag==0):
newfk=f(x+alpha*d)
phi=newfk
if(phi-phi0<=rho*alpha*dphi0):
if(phi-phi0>=(1-rho)*alpha*dphi0):
flag=1
else:
a=alpha
b=b
if(b
上述函數的輸入參數主要包括一個多元函數f，其導數df，當前迭代點x和當前搜索方向d，返回值是根據Goldstein準則確定的搜索步長。
我們仍以Rosenbrock函數為例，即有
于是可得函數的梯度為
最速下降法的代碼如下：
"""
最速下降法
Rosenbrock函數
函數 f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2
梯度 g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T)
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random
import linesearch
from linesearch import goldsteinsearch
def rosenbrock(x):
return 100*(x[1]-x[0]**2)**2+(1-x[0])**2
def jacobian(x):
return np.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)])
X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)
X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)
[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)
f=100*(x2-x1**2)**2+(1-x1)**2; # 給定的函數
plt.contour(x1,x2,f,20) # 畫出函數的20條輪廓線
def steepest(x0):
print('初始點為:')
print(x0,'\n')
imax = 20000
W=np.zeros((2,imax))
W[:,0] = x0
i = 1
x = x0
grad = jacobian(x)
delta = sum(grad**2) # 初始誤差
while i
10**(-5):
p = -jacobian(x)
x0=x
alpha = goldsteinsearch(rosenbrock,jacobian,p,x,1,0.1,2)
x = x + alpha*p
W[:,i] = x
grad = jacobian(x)
delta = sum(grad**2)
i=i+1
print("迭代次數為:",i)
print("近似最優解為:")
print(x,'\n')
W=W[:,0:i] # 記錄迭代點
return W
x0 = np.array([-1.2,1])
W=steepest(x0)
plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 畫出迭代點收斂的軌跡
plt.show()
為了實現不同文件中函數的調用，我們先用import函數導入了線性搜索的子函數，也就是下面的2行代碼
import linesearch
from linesearch import goldsteinsearch
當然，如果把定義goldsteinsearch函數的代碼直接放到程序里面，就不需要這么麻煩了，但是那樣的話，不僅會使程序顯得很長，而且不便于goldsteinsearch函數的重用。
此外，Python對函數式編程也支持的很好，在定義goldsteinsearch函數時，可以允許抽象的函數f，df作為其輸入參數，只要在調用時實例化就可以了。與Matlab不同的是，傳遞函數作為參數時，Python是不需要使用@將其變為函數句柄的。
運行結果為
初始點為:
[-1.2 1. ]
迭代次數為: 1504
近似最優解為:
[ 1.00318532 1.00639618]
迭代點的軌跡為
由于在線性搜索子程序中使用了隨機函數，初始搜索點是隨機產生的，因此每次運行的結果不太相同，比如再運行一次程序，得到
初始點為:
[-1.2 1. ]
迭代次數為: 1994
近似最優解為:
[ 0.99735222 0.99469882]
所得圖像為
以上這篇用Python實現最速下降法求極值的方法就是小編分享給大家的全部內容了，希望能給大家一個參考，也希望大家多多支持腳本之家。
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