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2.2 多項式函數(shù)

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在 Commons Math 中的 analysis.polynomials 包中有所有的與多項式函數(shù)相關(guān)的類和接口定義。這一篇主要從這個包分析，來研究一下多項式函數(shù)的應(yīng)用。

Polynomials 包中沒有 interface 的定義，下屬含有 5 個類： PolynomialFunction 、 PolynomialFunctionLagrangeForm 、 PolynomialFunctionNewtonForm 、 PolynomialSplineFunction 和 PolynomialsUtils 。其中主要的只有 PolynomialFunction 和 PolynomialSplineFunction ，正如 api doc 中的介紹， PolynomialFunction 類是 Immutable representation of a real polynomial function with real coefficients ——實數(shù)多項式的表示； PolynomialSplineFunction 類是 Represents a polynomial spline function. ——樣條曲線多項式的表示。另外兩個表示拉格朗日和牛頓形式的多項式函數(shù)。而 PolynomialsUtils 類中提供了幾個構(gòu)造個別（比如切比雪夫多項式）多項式的靜態(tài)方法。

我覺得最常用的應(yīng)該就是實數(shù)系數(shù)的多項式了，因此以 PolynomialFunction 類為例來進行分析。實數(shù)系數(shù)的多項式函數(shù)形如： f(x) = ax^2 + bx + c 。 PolynomialFunction 類實現(xiàn)了 DifferentiableUnivariateRealFunction 接口，因此必須實現(xiàn) value() 和 derivative() 方法，并且實現(xiàn)該接口也表明這是一元可微分的實數(shù)函數(shù)形式。 PolynomialFunction 類定義了一組 final double coefficients[] 作為多項式系數(shù)，其中 coefficients[0] 表示常數(shù)項的系數(shù)， coefficients[n] 表示指數(shù)為 n 的 x^n 次項的系數(shù)。因此，這個類所表達的多項式函數(shù)是這樣的： f(x)=coeff[0] + coeff[1]x + coeff[2]x^2 + … + coeff[n]x^n 。它的構(gòu)造方法是 PolynomialFunction(double []) 就是接受這樣的 coefficients 數(shù)組作為系數(shù)輸入?yún)?shù)來構(gòu)造多項式的。這個是很好表達也很方便理解的。那么它的 value(double x) 方法是通過調(diào)用 double evaluate( double [] coefficients, double argument) 實現(xiàn)的，本質(zhì)用 Horner's Method 求解多項式的值，沒有什么技術(shù)難點，非常好理解的一個給定參數(shù)和函數(shù)求值過程。剩余定義的一些加減乘等操作，都是通過一個類似public PolynomialFunction add( final PolynomialFunction p) 這樣的結(jié)構(gòu)實現(xiàn)的。求導(dǎo)數(shù)的方法 derivative() 是通過這樣的一個微分操作實現(xiàn)的。見源碼：

protected ? static ? double []?differentiate( double []?coefficients)? {
?2

???????? int ?n? = ?coefficients.length;
?3

???????? if ?(n? < ? 1 )? {
?4

???????????? throw ?MathRuntimeException.createIllegalArgumentException( " empty?polynomials?coefficients?array " );
?5

????????}
?6

???????? if ?(n? == ? 1 )? {
?7

???????????? return ? new ? double [] { 0 } ;
?8

????????}
?9

???????? double []?result? = ? new ? double [n? - ? 1 ];
10

???????? for ?( int ?i? = ?n? - ? 1 ;?i?? > ? 0 ;?i -- )? {
11

????????????result[i? - ? 1 ]? = ?i? * ?coefficients[i];
12

????????}
13

???????? return ?result;
14

????}
15

測試代碼示例如下：

/**
?2

?*?
?3

? */
?4

package ?algorithm.math;
?5

import ?org.apache.commons.math.ArgumentOutsideDomainException;
?7

import ?org.apache.commons.math.analysis.polynomials.PolynomialFunction;
?8

import ?org.apache.commons.math.analysis.polynomials.PolynomialSplineFunction;
?9

/**
11

?*? @author ?Jia?Yu
12

?*?@date?2010-11-21
13

? */
14

public ? class ?PolinomialsFunctionTest? {
15

???? /**
17

?????*? @param ?args
18

????? */
19

???? public ? static ? void ?main(String[]?args)? {
20

???????? // ?TODO?Auto-generated?method?stub
21

????????polynomials();
22

????????System.out.println( " ----------------------------------------------- " );
23

????????polynomialsSpline();
24

????}
25

???? private ? static ? void ?polynomialsSpline()? {
27

???????? // ?TODO?Auto-generated?method?stub
28

????????PolynomialFunction[]?polynomials? = ? {
29

???????????????? new ?PolynomialFunction( new ? double []? {?0d,?1d,?1d?} ),
30

???????????????? new ?PolynomialFunction( new ? double []? {?2d,?1d,?1d?} ),
31

???????????????? new ?PolynomialFunction( new ? double []? {?4d,?1d,?1d?} )?} ;
32

???????? double []?knots? = ? {? - 1 ,? 0 ,? 1 ,? 2 ?} ;
33

????????PolynomialSplineFunction?spline? = ? new ?PolynomialSplineFunction(knots,
34

????????????????polynomials);
35

???????? // output?directly
36

????????System.out.println( " poly?spline?func?is? " + spline);
37

???????? // ?get?the?value?when?x?=?0.5
38

???????? try ? {
39

????????????System.out.println( " f(0.5)?=? " + spline.value( 0.5 ));
40

????????} ? catch ?(ArgumentOutsideDomainException?e)? {
41

???????????? // ?TODO?Auto-generated?catch?block
42

????????????e.printStackTrace();
43

????????}
44

???????? // ?the?number?of?spline?segments
45

????????System.out.println( " spline?segments?number?is? " + spline.getN());
46

???????? // ?the?polynomials?functions
47

???????? for ( int ?i = 0 ;i < spline.getN();i ++ ) {
48

????????????System.out.println( " spline:f " + i + " (x)?=? " + spline.getPolynomials()[i]);
49

????????}
50

???????? // function?derivative
51

????????System.out.println( " spline?func?derivative?is? " + spline.derivative());
52

????}
53

???? private ? static ? void ?polynomials()? {
55

???????? // ?TODO?Auto-generated?method?stub
56

???????? double []?f1_coeff? = ? {? 3.0 ,? 6.0 ,? - 2.0 ,? 1.0 ?} ;
57

???????? double []?f2_coeff? = ? {? 1.0 ,? 2.0 ,? - 1.0 ,? - 2.0 ?} ;
58

????????PolynomialFunction?f1? = ? new ?PolynomialFunction(f1_coeff);
59

????????PolynomialFunction?f2? = ? new ?PolynomialFunction(f2_coeff);
60

???????? // ?output?directly
61

????????System.out.println( " f1(x)?is?:? " ? + ?f1);
62

????????System.out.println( " f2(x)?is?:? " ? + ?f2);
63

???????? // ?polynomial?degree
64

????????System.out.println( " f1(x)'s?degree?is? " ? + ?f1.degree());
65

???????? // ?get?the?value?when?x?=?2
66

????????System.out.println( " f1(2)?=? " ? + ?f1.value( 2 ));
67

???????? // ?function?add
68

????????System.out.println( " f1(x)+f2(x)?=? " ? + ?f1.add(f2));
69

???????? // ?function?substract
70

????????System.out.println( " f1(x)-f2(x)?=? " ? + ?f1.subtract(f2));
71

???????? // ?function?multiply
72

????????System.out.println( " f1(x)*f2(x)?=? " ? + ?f1.multiply(f2));
73

???????? // ?function?derivative
74

????????System.out.println( " f1'(x)?=? " ? + ?f1.derivative());
75

????????System.out.println( " f2''(x)?=? "
76

???????????????? + ?((PolynomialFunction)?f2.derivative()).derivative());
77

????}
79

}
81

輸出如下：
f1(x) is : 3.0 + 6.0 x - 2.0 x^2 + x^3
f2(x) is : 1.0 + 2.0 x - x^2 - 2.0 x^3
f1(x)'s degree is 3
f1(2) = 15.0
f1(x)+f2(x) = 4.0 + 8.0 x - 3.0 x^2 - x^3
f1(x)-f2(x) = 2.0 + 4.0 x - x^2 + 3.0 x^3
f1(x)*f2(x) = 3.0 + 12.0 x + 7.0 x^2 - 15.0 x^3 - 8.0 x^4 + 3.0 x^5 - 2.0 x^6
f1'(x) = 6.0 - 4.0 x + 3.0 x^2
f2''(x) = -2.0 - 12.0 x
-----------------------------------------------
poly spline func is org.apache.commons.math.analysis.polynomials.PolynomialSplineFunction@69b332
f(0.5) = 2.75
spline segments number is 3
spline:f0(x) = x + x^2
spline:f1(x) = 2.0 + x + x^2
spline:f2(x) = 4.0 + x + x^2
spline func derivative is org.apache.commons.math.analysis.polynomials.PolynomialSplineFunction@173a10f

PolynomialFunction 類也是重寫了 toString 方法和 hashCode 和 equals 方法的。

PolynomialSplineFunction 類是多項式樣條函數(shù)，樣條是一種特殊的函數(shù)，由多項式分段定義。表示了一個由多個多項式組成的樣條曲線。它的實現(xiàn)主要是內(nèi)部定義了一個多項式函數(shù)組 PolynomialFunction polynomials[] 和一個樣條分界節(jié)點數(shù)組 double knots[] 。這兩個內(nèi)部成員分別表示什么呢？分界節(jié)點表示整條曲線對應(yīng)在 x 等于 knots[i] 的時候開始使用其他多項式樣條，其構(gòu)造方法 public PolynomialSplineFunction( double knots[], PolynomialFunction polynomials[]) 完成這樣的功能。

舉例來說，一個多項式樣條函數(shù)就是一個分段函數(shù)：

????? X^2+x??? [-1,0)

F(x) = x^2+x+2?? [0,1)

????? X^2+x+4?[1,2)

當然，構(gòu)造方法中的參數(shù)， knots[] 數(shù)組必須是遞增的。

可以看到，直接輸出 PolynomialSplineFunction 是多么丑陋啊 ~~ ，因為它沒有重寫 toString 方法。同樣，它的導(dǎo)數(shù)也是一樣的丑陋。其中如果給定的值不在定義域內(nèi)， value 方法還拋出異常 ArgumentOutsideDomainException 。

最后 PolynomialFunctionLagrangeForm 和 PolynomialFunctionNewtonForm 類完成的其實是多項式插值的功能，放到下一節(jié)研究的。

樣條函數(shù)： http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%A0%B7%E6%9D%A1%E5%87%BD%E6%95%B0

Horner Methods ： http://mathworld.wolfram.com/HornersMethod.html

Commons math 包： http://commons.apache.org/math/index.html

Commons Math學(xué)習(xí)筆記——多項式函數(shù)

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